拟合函数专题训练

📝 详细解析

(1) \( m = 2 \) …………………………………(2分)

解法提示 观察表格中的数据可知 \( AP = 2.5\ \text{cm} \)，\( QP = 1.5\ \text{cm} \)，
∵ \( AQ \perp CP \)，∴ \( \angle AQP = 90^\circ \)。
在 \( \text{Rt}\triangle AQP \) 中，由勾股定理得 \( AQ = \sqrt{AP^2 - QP^2} = \sqrt{2.5^2 - 1.5^2} = 2 \)。

(2) 根据表格数据描点、连线，绘制函数图象如解图。 ……………………………(4分)

(3) \( y_1 \) 随 \( x \) 的增大而增大 …………………………………(6分)

(4) 2.2 或 4.5 …………………………………(10分)

解法提示 当 \( \triangle APQ \) 中有一个角为 \( 30^\circ \)，∵ \( \angle AQP = 90^\circ \)，
∴ 分 \( \angle QAP = 30^\circ \) 和 \( \angle APQ = 30^\circ \) 两种情况讨论。
① 当 \( \angle QAP = 30^\circ \) 时，有 \( QP = \frac{1}{2}AP \)，即 \( y_2 = \frac{1}{2}x \)；
② 当 \( \angle APQ = 30^\circ \) 时，有 \( AQ = \frac{1}{2}AP \)，即 \( y_1 = \frac{1}{2}x \)。
在平面直角坐标系中画出 \( y = \frac{1}{2}x \) 的图象，分别观察可知 \( AP \) 的长度约为 2.2 或 4.5。

📝 详细解析

(1) ① \( a = 5.0 \) (2分)

解法提示 ∵ 点 \( D \) 是 \( \overset{\frown}{BC} \) 的中点，∴ \( \overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{CD} \)，∴ \( CD = BD = 5.0 \)。

② ∵ 点 \( A \) 是 \( BC \) 的中点，∴ \( AB = AC \)。
∵ \( CF \parallel BD \)，∴ \( \angle ACF = \angle ABD \)，\( \angle F = \angle BDA \)。
∴ \( \triangle ACF \cong \triangle ABD \)。∴ \( CF = BD \)。(4分)

(2) \( y_{CD} \) 的图象如解图所示。(6分)

(3) \( y_{CF} \) 的图象如解图所示。(7分)
由解图可知，当 \( \triangle DCF \) 为等腰三角形时，线段 \( BD \) 的长度约为 3.5 cm 或 5.0 cm 或 6.3 cm。(答案不唯一)(10分)

解法提示 由(1)可知，\( CF = BD \)。当 \( \triangle DCF \) 为等腰三角形时，可分三种情况讨论。
① 当 \( DC = CF \) 时，由图象可知，\( BD = CF = 5.0\ \text{cm} \)；
② 当 \( DC = DF \) 时，由图象可知，\( BD = CF \approx 3.5\ \text{cm} \)；
③ 当 \( CF = DF \) 时，由图象可知，\( BD = CF \approx 6.3\ \text{cm} \)。(答案不唯一)

📝 详细解析

(1) \( y_1 = \dfrac{4}{x} \)（\( 0 < x < 8 \)）

解析 ∵ 四边形 \( ABCD \) 是矩形，\( AB = 6\ \text{cm} \)，\( BC = 8\ \text{cm} \)。
∴ \( \angle B = 90^\circ \)，∴ \( S_{\triangle BEF} = \dfrac{1}{2}BE \cdot BF \)，
∵ 点 \( E \) 以每秒 \( 1\ \text{cm} \) 的速度沿 \( B \to C \) 方向运动，点 \( F \) 在直线 \( AB \) 上运动，且满足 \( S_{\triangle BEF} = 2 \)，运动时间 \( x \) 秒，
∴ \( BE = x\ \text{cm} \)，
∴ \( \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot BF = 2 \)，∴ \( BF = \dfrac{4}{x} \)，∴ \( y_1 = \dfrac{4}{x} \)；

∵ 点 \( G \) 沿 \( D \to C \to A \) 运动，\( G \) 速度为 \( 2\ \text{cm/s} \)，\( DC = AB = 6\ \text{cm} \)，
∴ 当 \( 0 < x \leq 3 \) 时，\( y_2 = 6 - 2x \)；
当 \( 3 < x < 8 \) 时，\( y_2 = 2(x - 3) = 2x - 6 \)，
\( y_2 = \begin{cases} 6 - 2x, & 0 < x \leq 3 \\ 2x - 6, & 3 < x < 8 \end{cases} \)

(2) 列表、描点、连线画出图象。

由图象看出当 \( y_1 < y_2 \) 时，\( \mathbf{1 < x < 2} \) 或 \( \mathbf{3.6 < x < 8} \)。

📝 详细解析

任务1：变化量分别为：\( 29 - 30 = -1\ \text{cm} \)，\( 28.1 - 29 = -0.9\ \text{cm} \)；
\( 27 - 28.1 = -1.1\ \text{cm} \)；\( 25.8 - 27 = -1.2\ \text{cm} \)；
说明：学生写出正值变化量也给分，如 0 至 10 分钟减少：\( 30 - 29 = 1\ \text{cm} \)。

任务2：设 \( h = kt + b(k \neq 0) \)，
∵ \( t = 0 \) 时，\( h = 30 \)，\( t = 10 \) 时，\( h = 29 \)；
∴ \( \begin{cases} b = 30 \\ 10k + 30 = 29 \end{cases} \)，解得 \( \begin{cases} k = -0.1 \\ b = 30 \end{cases} \)
∴ 水面高度 \( h \) 与流水时间 \( t \) 的函数解析式为 \( \mathbf{h = -0.1t + 30} \)；

任务3：

(1) \( w = (30-30)^2 + (29-29)^2 + (28-28.1)^2 + (27-27)^2 + (26-25.8)^2 = 0.05 \)；

(2) 设 \( h = kt + 30 \)，则
\( w = (30-30)^2 + (10k+30-29)^2 + (20k+30-28.1)^2 + (30k+30-27)^2 + (40k+30-25.8)^2 \)
\( = (10k+1)^2 + (20k+1.9)^2 + (30k+3)^2 + (40k+4.2)^2 \)
\( = 3000k^2 + 612k + (1^2 + 1.9^2 + 3^2 + 4.2^2) \)。
当 \( k = -\dfrac{612}{2 \times 3000} = -0.102 \) 时，\( w \) 最小。
∴ 优化后的函数解析式为 \( \mathbf{h = -0.102t + 30} \)，可使得 \( w \) 的值最小；

说明：上述问题解决过程中，方法正确，\( k \) 的计算值出现错误，此小题给 2 分。

任务4：时间刻度方案要点：
① 时间刻度的 0 刻度在水位最高处；
② 刻度从上向下均匀变大；
③ 每 \( 0.102\ \text{cm} \) 表示 \( 1\ \text{min} \)（\( 1\ \text{cm} \) 表示时间约为 \( 9.8\ \text{min} \)）。