一道题 三种视角 · 看数学思维如何展开

Step 1 · 韦达定理逆用

以 $b,c$ 为根的二次方程：$x^2+ax-\dfrac{16}{a}=0$（因为 $b+c=-a$，$bc=-\dfrac{16}{a}$）。

Step 2 · 判别式分析

由于 $b,c$ 是实数，判别式必须非负：

$\Delta = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\dfrac{16}{a}\right) = a^2 + \dfrac{64}{a} \ge 0$

Step 3 · 解不等式

注意 $a\lt 0$，两边乘 $a$（负号，不等号变向）：$a^3 + 64 \le 0$，即 $a^3 \le -64$，因此 $a \le -4$。

Step 4 · 验证等号

当 $a=-4$ 时，$\Delta = 0$，方程有等根 $b=c=-\dfrac{a}{2}=2$。

验证：$a+b+c=-4+2+2=0$ ✓，$abc=(-4)\times2\times2=-16$ ✓

Step 1 · 应用均值不等式

因为 $b,c\gt 0$，由均值不等式：$\dfrac{b+c}{2} \ge \sqrt{bc}$。当且仅当 $b=c$ 时等号成立。

Step 2 · 代入已知条件

$\dfrac{b+c}{2} = -\dfrac{a}{2}$，$\sqrt{bc} = \sqrt{-\dfrac{16}{a}} = \dfrac{4}{\sqrt{-a}}$。

Step 3 · 建立并求解不等式

$-\dfrac{a}{2} \ge \dfrac{4}{\sqrt{-a}}$ → 两边乘 $2\sqrt{-a}$（正数）：$(-a)^{3/2} \ge 8$

两边平方：$(-a)^3 \ge 64$，即 $-a \ge 4$，因此 $a \le -4$。

Step 4 · 等号成立条件

当 $b=c$ 时等号成立，结合 $b+c=-a$ 得 $b=c=-\dfrac{a}{2}=2$。

求切点条件

联立方程，判别式为零时直线与双曲线相切：

$-a-b = -\dfrac{16}{ab}$ → $ab^2+a^2b-16=0$

判别式 $\Delta = a^4 + 64a = 0$，因此 $a^3 = -64$，即 $a = -4$。