2026年东莞市自主招生考试数学试题深度解析

方法一：公共根法 ★ 最直观

设两个方程的公共根为 $\alpha$，则：

$$\alpha^2 - m\alpha + 1 = 0 \qquad\text{①}$$

$$\alpha^2 + \alpha - m = 0 \qquad\text{②}$$

① $-$ ② 得：$(-m\alpha + 1) - (\alpha - m) = 0$

化简：$m(1 - \alpha) = \alpha - 1 = -(1-\alpha)$

情况1：若 $1 - \alpha \neq 0$，则 $m = -1$。检验：方程1为 $x^2 + x + 1 = 0$，$\Delta = -3 < 0$，无实根，舍去。

情况2：若 $1 - \alpha = 0$，即 $\alpha = 1$，代入②得 $m = 2$。检验：方程1：$(x-1)^2=0$ ✓；方程2：$(x+2)(x-1)=0$ ✓

结论：$m = 2$

方法二：判别式与韦达定理法

方程1：$\Delta_1 = m^2 - 4 \ge 0$，即 $|m| \ge 2$

方程2：$\Delta_2 = 1 + 4m \ge 0$，即 $m \ge -\frac{1}{4}$

设公共根为 $\alpha$，由韦达定理：方程1：$\alpha + \beta = m$，$\alpha\beta = 1$；方程2：$\alpha + \gamma = -1$，$\alpha\gamma = -m$

由 $\alpha\beta = 1$ 得 $\beta = \frac{1}{\alpha}$，代入 $\alpha + \frac{1}{\alpha} = m$。

由 $\alpha\gamma = -m$ 得 $\gamma = -\frac{m}{\alpha}$，代入 $\alpha - \frac{m}{\alpha} = -1$。

将 $m = \alpha + \frac{1}{\alpha}$ 代入得：$\alpha^3 = 1$，实数解 $\alpha = 1$，$m = 2$。

结论：$m = 2$

方法三：消元法（结式思想）

两方程有公共根，分别表出 $x^2$：

由方程1：$x^2 = mx - 1$；由方程2：$x^2 = -x + m$

联立：$mx - 1 = -x + m$，得 $(m+1)x = m + 1$

若 $m \neq -1$，则 $x = 1$，代入得 $m = 2$。

若 $m = -1$，方程1为 $x^2 + x + 1 = 0$，$\Delta < 0$，舍去。

结论：$m = 2$

方法四：图像法（几何直观）

将两方程改写为 $x^2 = mx - 1$ 与 $x^2 = -x + m$。

视 $x^2$ 为公共量，两直线 $y = mx - 1$ 与 $y = -x + m$ 交于一点。

联立得 $(m+1)x = m + 1$，同方法三分析得 $m = 2$。

结论：$m = 2$

方法五：对称函数法

设两方程的根分别为 $\{\alpha, \beta\}$ 和 $\{\alpha, \gamma\}$。

由韦达定理：$\alpha\beta = 1$，$\alpha\gamma = -m$；$\alpha + \beta = m$，$\alpha + \gamma = -1$。

$\beta = \frac{1}{\alpha}$，$\gamma = -\frac{m}{\alpha}$。代入两和式：

$\alpha + \frac{1}{\alpha} = m$，$\alpha - \frac{m}{\alpha} = -1$。

两式联立消 $m$：由第一式 $m = \alpha + \frac{1}{\alpha}$，代入第二式：

$\alpha - \frac{\alpha + 1/\alpha}{\alpha} = -1$，化简得 $\alpha - 1 - \frac{1}{\alpha^2} = -1$，$\alpha^3 = 1$。

实数解 $\alpha = 1 \Rightarrow m = 2$。

结论：$m = 2$

方法一：裂项相消法 ★ 考试首选

变形：$g(x) = 1 + \frac{2}{x} = \frac{x+2}{x}$

$$\begin{aligned} P &= \prod_{k=1}^{50} \frac{k+2}{k} = \frac{3}{1} \times \frac{4}{2} \times \frac{5}{3} \times \cdots \times \frac{52}{50} \\ &= \frac{3 \times 4 \times 5 \times \cdots \times 52}{1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 50} = \frac{51 \times 52}{1 \times 2} = 1326 \end{aligned}$$

结论：$P = 1326$

方法二：阶乘公式法

$P = \dfrac{\prod_{k=1}^{50}(k+2)}{\prod_{k=1}^{50}k} = \dfrac{52!/2!}{50!} = \dfrac{52 \times 51}{2} = 1326$

结论：$P = 1326$

方法三：逐项约分观察法

展开：$\dfrac{3}{1} \times \dfrac{4}{2} \times \dfrac{5}{3} \times \dfrac{6}{4} \times \cdots \times \dfrac{52}{50}$

分子 $3,4,5,\ldots,50$ 与分母 $3,4,5,\ldots,50$ 全部约去，仅剩分子 $51,52$ 和分母 $1,2$。

$P = \dfrac{51 \times 52}{1 \times 2} = 1326$

结论：$P = 1326$

方法四：递推归纳法

设 $P_n = \prod_{k=1}^{n}\frac{k+2}{k}$，则 $P_n = \frac{n+2}{n} \cdot P_{n-1}$，且 $P_1 = 3$。

猜想 $P_n = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$。验证 $n=1$：$P_1 = 2\times 3/2 = 3$ ✓

归纳：$P_{n} = \frac{n+2}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ 成立。

$n=50$：$P_{50} = \frac{51 \times 52}{2} = 1326$

结论：$P = 1326$

方法一：均值不等式 ★ 最直接

由 AM–GM 不等式（二元均值）：$\displaystyle \frac{3}{m} + \frac{2}{n} \ge 2\sqrt{\frac{3}{m} \cdot \frac{2}{n}} = 2\sqrt{\frac{6}{mn}}$

已知 $\frac{3}{m} + \frac{2}{n} = 2$，代入：$2 \ge 2\sqrt{\frac{6}{mn}}$

化简：$1 \ge \sqrt{\frac{6}{mn}} \;\Rightarrow\; 1 \ge \frac{6}{mn} \;\Rightarrow\; mn \ge 6$

等号成立当且仅当 $\frac{3}{m} = \frac{2}{n} = 1$，即 $m = 3, n = 2$。

结论：$mn$ 的最小值为 $6$（当 $m=3, n=2$ 时取等）

方法二：换元法（化归为标准形式）

令 $x = \frac{1}{m}, y = \frac{1}{n}$（$x, y > 0$），则原条件化为 $3x + 2y = 2$。

所求 $mn = \frac{1}{xy}$，即求 $xy$ 的最大值。

对正实数 $x, y$，由均值不等式：$3x + 2y \ge 2\sqrt{3x \cdot 2y} = 2\sqrt{6xy}$

即 $2 \ge 2\sqrt{6xy}$，得 $xy \le \frac{1}{6}$。

因此 $mn = \frac{1}{xy} \ge 6$，等号在 $3x = 2y = 1$ 即 $m=3, n=2$ 时成立。

结论：$mn$ 的最小值为 $6$

方法三：柯西不等式法

由柯西不等式：$\left(\frac{3}{m} + \frac{2}{n}\right)(3m + 2n) \ge (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2})^2 = (3+2)^2 = 25$

等等——此路不通，柯西方向反了。换一种思路：

设 $p = \sqrt{\frac{3}{m}}, q = \sqrt{\frac{2}{n}}$，则 $p^2 + q^2 = 2$。

$mn = \frac{3}{p^2} \cdot \frac{2}{q^2} = \frac{6}{p^2 q^2}$。由 $p^2 + q^2 \ge 2pq$ 得 $pq \le 1$。

故 $p^2 q^2 \le 1$，$mn = \frac{6}{p^2 q^2} \ge 6$。

结论：$mn$ 的最小值为 $6$

方法一：平方平均数法 ★ 最优雅！

算术平均数 $\le$ 平方平均数：对于正数 $x, y$，$\frac{x+y}{2} \le \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}$

令 $x = \sqrt{2001}, y = \sqrt{2035}$，则：

$$\frac{\sqrt{2001} + \sqrt{2035}}{2} \le \sqrt{\frac{2001 + 2035}{2}} = \sqrt{\frac{4036}{2}} = \sqrt{2018}$$

即 $\frac{m}{2} \le \frac{n}{2}$，$m \le n$。由于 $2001 \neq 2035$，等号不成立。

结论：$m < n$

方法二：平方差比较法

$n^2 - m^2 = (2\sqrt{2018})^2 - (\sqrt{2001} + \sqrt{2035})^2$

$= 4 \times 2018 - (2001 + 2035 + 2\sqrt{2001 \times 2035})$

$= 8072 - 4036 - 2\sqrt{2001 \times 2035} = 4036 - 2\sqrt{2001 \times 2035}$

由均值不等式：$\sqrt{2001 \times 2035} \le \frac{2001+2035}{2} = 2018$

故 $2\sqrt{2001 \times 2035} \le 4036$，$n^2 - m^2 = 4036 - 2\sqrt{2001 \times 2035} \ge 0$。

等号当 $2001 = 2035$，不成立，故 $n^2 > m^2$，$n > m$。

结论：$m < n$

方法三：柯西不等式法

由柯西不等式：$(\sqrt{2001} + \sqrt{2035})^2 \le (1^2+1^2)(2001+2035) = 2 \times 4036 = 8072$

故 $m \le \sqrt{8072} = 2\sqrt{2018} = n$。

等号当 $\frac{\sqrt{2001}}{1} = \frac{\sqrt{2035}}{1}$，即 $2001 = 2035$，不成立。

结论：$m < n$

法一：构造法 ★

以下解法仅供参考，因为上传图片困难，请自行画图。

补充：几何构造法

连接 $BD$。由 $BC=CD=2, \angle BCD=90^\circ$，得 $BD=2\sqrt{2}$，$\angle CBD=\angle CDB=45^\circ$。

在 $\triangle ABD$ 中用余弦定理求 $AD$，再在 $\triangle ACD$ 中求 $\angle ADC$。

补充：旋转变换法

将 $\triangle ABC$ 绕点 $B$ 旋转，使 $BC$ 与 $BA$ 重合（利用 $AB=BC=2$），构造新的几何关系求解。体现了"共端点等线段，旋转构造全等"的核心几何思想。

以下仅对第(2)问进行处理：

（课上学生提供了六种方法，在这里展示两种正常思路的做法）

法一：旋转集中相等线段 ★

法二：截长补短法 ★

以下解法仅供参考，因为上传图片困难，请自行画图。

补充：纯几何法

四边形 $CHED$ 为平行四边形（$CH=DE$ 且 $CH\parallel DE$）。$\triangle CDF$ 等腰（$CD=DF=DA$），

利用平行四边形对角性质和等腰三角形底角性质完成角度推导。线段关系通过相似三角形比例导出。

补充：旋转法

将 $\triangle DAE$ 绕 $D$ 逆时针旋转 $90^\circ$，$A\to C$，$E\to E'$，$\triangle DEE'$ 为等腰直角三角形。

利用旋转后对应边相等关系完成证明。

解法一：判别式与韦达定理（首选）

(1) 证明：

∵ $n=2ak-b+k=0$，∴ $b = k(2a+1)$。

代入 $m=-8a^2+b^2-4a=0$，得：

$-8a^2 + k^2(2a+1)^2 - 4a = 0$

展开整理：

$-8a^2 + k^2(4a^2+4a+1) - 4a = 0$

$(4k^2-8)a^2 + (4k^2-4)a + k^2 = 0$

即 $4(k^2-2)a^2 + 4(k^2-1)a + k^2 = 0$。

这是关于 $a$ 的二次方程（∵ $k^2 \neq 2$，故 $k^2-2 \neq 0$）。其判别式：

$\Delta = [4(k^2-1)]^2 - 4 \cdot 4(k^2-2) \cdot k^2 = 16[(k^2-1)^2 - k^2(k^2-2)]$

计算括号内：$(k^2-1)^2 - k^2(k^2-2) = k^4-2k^2+1-k^4+2k^2 = 1$。

∴ $\Delta = 16 > 0$，因此方程有两个不同的实根，即 $a$ 有两个可能取值。□

(2) 解：

设两根为 $a_1, a_2$，由韦达定理：

$a_1+a_2 = -\dfrac{4(k^2-1)}{4(k^2-2)} = -\dfrac{k^2-1}{k^2-2}$，$\quad a_1a_2 = \dfrac{k^2}{4(k^2-2)}$。

∵ $a_1+a_2=2$，

$-\dfrac{k^2-1}{k^2-2} = 2 \quad \Rightarrow \quad -k^2+1 = 2k^2-4 \quad \Rightarrow \quad 3k^2=5 \quad \Rightarrow \quad k^2=\dfrac{5}{3}$。

代入得 $a_1a_2 = \dfrac{5/3}{4(5/3-2)} = \dfrac{5/3}{4(-1/3)} = -\dfrac{5}{4}$。

于是 $(a_1-a_2)^2 = (a_1+a_2)^2 - 4a_1a_2 = 2^2 - 4(-\dfrac{5}{4}) = 4+5=9$，

∴ $|a_1-a_2| = 3$。

由 $b=k(2a+1)$，得 $|b_1-b_2| = |k| \cdot |2a_1+1-(2a_2+1)| = 2|k| \cdot |a_1-a_2| = 2\sqrt{\dfrac{5}{3}} \cdot 3 = 6\sqrt{\dfrac{5}{3}} = 2\sqrt{15}$。□

解法二：因式分解法

(1) 证明：

由 $n=2ak-b+k=0$ 得 $b=2ak+k=k(2a+1)$。

代入 $m=-8a^2+b^2-4a=0$，得 $-8a^2+k^2(2a+1)^2-4a=0$。

整理得 $k^2(2a+1)^2 = 8a^2+4a = 4a(2a+1)$。

移项得 $(2a+1)[k^2(2a+1)-4a]=0$。

∴ $2a+1=0$ 或 $k^2(2a+1)-4a=0$。

∴ $a=-\dfrac{1}{2}$ 或 $a = -\dfrac{k^2}{2(k^2-2)}$（$k^2 \neq 2$）。

∵ $k^2 \neq 2$，∴ $-\dfrac{1}{2} \neq -\dfrac{k^2}{2(k^2-2)}$（否则推出 $0=-2$），

∴ $a$ 有两个不同的可能取值。□

(2) 解：

由(1)知，两组解分别为 $\begin{cases} a_1=-\dfrac{1}{2} \\ b_1=0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} a_2=-\dfrac{k^2}{2(k^2-2)} \\ b_2=-\dfrac{2k}{k^2-2} \end{cases}$（次序可交换）。

已知 $a_1+a_2=2$，故

$-\dfrac{1}{2} - \dfrac{k^2}{2(k^2-2)} = 2 \quad \Rightarrow \quad -\dfrac{k^2}{2(k^2-2)} = \dfrac{5}{2}$。

解得 $-\dfrac{k^2}{k^2-2} = 5$ → $-k^2 = 5(k^2-2)$ → $6k^2=10$ → $k^2=\dfrac{5}{3}$。

于是 $k = \pm\sqrt{\dfrac{5}{3}}$。对应 $b$ 值为 $0$ 和 $-\dfrac{2k}{k^2-2} = 6k$，故

$|b_1-b_2| = |0-6k| = 6|k| = 6\sqrt{\dfrac{5}{3}} = 2\sqrt{15}$。□

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题目：已知 $a,b$ 为正整数，关于 $x$ 的方程 $x^2-2ax+b=0$ 的两个实根为 $x_1,x_2$，关于 $y$ 的方程 $y^2+2ay+b=0$ 的两个实根为 $y_1,y_2$，且 $x_1y_2-x_2y_1=104$，求 $b$ 的最小值。

解：观察方程，两个一元二次方程只有一次项系数互为相反数，则这两个方程的两个根互为相反数。有两种情况：

情形①：$y_1=-x_1,\;y_2=-x_2$

$x_1y_2-x_2y_1 = x_1(-x_2)-x_2(-x_1) = -x_1x_2+x_1x_2 = 0 \neq 104$

∴ 此种情况不存在。

情形②：$y_1=-x_2,\;y_2=-x_1$

$x_1y_2-x_2y_1 = x_1(-x_1)-x_2(-x_2) = -x_1^2+x_2^2 = 104$

求根公式：$x = \dfrac{2a \pm \sqrt{4a^2-4b}}{2}$，∵ $x_1 \lt x_2$，

$\therefore x_1 = a-\sqrt{a^2-b}$，$\quad x_2 = a+\sqrt{a^2-b}$

$-x_1^2+x_2^2=104$，即 $(a+\sqrt{a^2-b})^2-(a-\sqrt{a^2-b})^2=104$。

化简得：$a\sqrt{a^2-b}=26$。

分解质因数：$a\sqrt{a^2-b}=26=1\times 26 = 2\times 13$

$\therefore \begin{cases} a=26 \\ \sqrt{a^2-b}=1 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} a=13 \\ \sqrt{a^2-b}=2 \end{cases}$

解得：$\begin{cases} a=26 \\ b=26^2-1=675 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} a=13 \\ b=165 \end{cases}$

综上，$b$ 的最小值为 165。

🔗 同类型变式题二：2025深中自招

题目：已知 $|x^2-ax+b|=8$ 有三个不同的根，三个根能组成一个直角三角形，则 $|a-b|$ 的所有可能值之和为________。

答案：216

法一：直接解方程

$x^2-ax+b=8$ 时，$\Delta_1=a^2-4b+32$；

$x^2-ax+b=-8$ 时，$\Delta_2=a^2-4b-32$。

$\because \Delta_1>\Delta_2$，$\therefore \Delta_2=0$，即 $a^2-4b=32$。

$\therefore \Delta_1=32+32=64$。

$x^2-ax+b=8$ 的两个根为 $x_1=\dfrac{a-8}{2},x_3=\dfrac{a+8}{2}$。

$x^2-ax+b=-8$ 的两个相等的根为 $x_2=x_4=\dfrac{a}{2}$。

$\because$ 三个根能组成一个直角三角形，

$\therefore x_1^2+x_2^2=x_3^2$，即 $\left(\dfrac{a}{2}-4\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=\left(\dfrac{a}{2}+4\right)^2$。

解得 $a=32$（$a=0$ 舍去，此时 $x_1=-4<0$）。

由 $a^2-4b=32$ 得 $b=248$。

$\therefore |a-b|=|32-248|=216$。

法二：利用数形结合思想

图：$y=|x^2-ax+b|$ 与 $y=8$ 的交点示意图

如图所示，可知 $x_2=\dfrac{a}{2}$，$-\dfrac{4b-a^2}{4}=8$，即 $a^2-4b=32$。

设 $x_1,x_3$ 是一元二次方程 $x^2-ax+b=8$ 的两个相异的实数根，根据根与系数的关系，可得：

$\begin{cases} x_1+x_3=a \\ x_1\cdot x_3=b-8 \end{cases}$

$\therefore (x_3-x_1)^2=(x_3+x_1)^2-4x_3x_1=a^2-4(b-8)=a^2-4b+32=64$

$\therefore x_3-x_1=8$（负根已舍去）

$\because$ 三个根能组成一个直角三角形，$\therefore x_1^2+x_2^2=x_3^2$

$\therefore x_2^2=x_3^2-x_1^2=(x_3+x_1)(x_3-x_1)=8a$，即 $\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=8a$，解得 $a=32$。

$\because a^2-4b=32$，$\therefore b=\dfrac{a^2-32}{4}=\dfrac{32^2-32}{4}=248$

$\therefore |a-b|=|32-248|=216$。